三维旋转、欧拉角、四元数
内容提要
本文介绍了三维旋转、欧拉角和四元数的概念和应用，欧拉角通过绕三个轴的旋转来描述三维空间中的旋转，旋转顺序和角度会影响结果，还讨论了万向锁问题和欧拉角描述旋转的不唯一性问题。
延伸解读
欧拉角描述旋转的五个参数
文章指出，用欧拉角完整描述一个三维旋转需要五个参数：内旋或外旋、旋转顺序、以及每次旋转的角度。这是因为旋转顺序和内外旋方式都会影响最终姿态，即使角度相同，结果也可能不同。因此在实际应用中，必须明确这些参数，否则旋转描述将不唯一。
万向锁的本质与发生条件
万向锁是内旋过程中，当第二个旋转轴旋转±90°时，第三个旋转轴与第一个旋转轴效果重合，导致失去一个旋转自由度。文章强调，万向锁只影响连续运动，不影响旋转状态的表示，且仅发生于内旋，外旋不会出现。理解这一点有助于避免在动画或控制中误用欧拉角。
内旋与外旋的等价关系
文章提到，特定顺序的外旋等价于相反顺序的内旋，例如外旋z→y→x等价于内旋X→Y→Z。这种等价性关注的是最终旋转结果，而非过程。因此，在分析万向锁时，需注意过程与结果的区别，避免混淆。
四元数解决不唯一性问题
欧拉角描述旋转存在不唯一性，即多种旋转操作可能得到相同结果。文章指出，四元数可以解决这一问题，但未展开具体内容。对于需要唯一、连续表示旋转的应用，四元数是一个更优的选择。
Q&A
什么是欧拉角？
欧拉角是通过绕三个轴的旋转来描述三维空间中的旋转的角度。
欧拉角的旋转顺序会影响什么？
旋转顺序会影响最终的姿态角，即使每个轴的旋转角度相同，结果也可能不同。
万向锁是什么？
万向锁是欧拉角表示旋转过程中的一种状态，影响连续运动，通常发生在内旋过程中。
内旋和外旋有什么区别？
内旋是以局部坐标系为轴进行旋转，外旋则是以世界坐标系为轴，结果会有所不同。
四元数如何解决欧拉角的问题？
四元数可以解决欧拉角描述旋转的不唯一性问题，避免多种旋转操作得到相同结果的情况。
如何表示旋转矩阵？
旋转矩阵可以表示为多个旋转矩阵的乘积，例如 \\boldsymbol{R} = \\boldsymbol{R}_x(\alpha) \\boldsymbol{R}_y(\beta) \\boldsymbol{R}_z(\gamma)。
