什么是矩阵的惯性？
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内容提要
对于n阶实对称矩阵A，其惯性是三元数组In(A) = (i+(A), i-(A), i0(A))，其中i+(A)是正特征值个数，i-(A)是负特征值个数，i0(A)是零特征值个数。矩阵的秩rank(A)=i+(A)+i-(A)，签名signature(A)=i+(A)-i-(A)。矩阵合同指任意两个合同矩阵的惯性指数相同，合同矩阵的惯性可通过找到容易获取惯性的合同矩阵来获取。矩阵等价指秩相同的矩阵，矩阵相似指存在可逆矩阵P使得AB=PBP^T。
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关键要点
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n阶实对称矩阵A的惯性是三元数组In(A) = (i+(A), i-(A), i0(A))。
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i+(A)是正特征值个数，i-(A)是负特征值个数，i0(A)是零特征值个数，且i+(A) + i-(A) + i0(A) = n。
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矩阵的秩rank(A) = i+(A) + i-(A)，签名signature(A) = i+(A) - i-(A)。
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矩阵合同指任意两个合同矩阵的惯性指数相同，合同矩阵的惯性可通过找到容易获取惯性的合同矩阵来获取。
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西尔维斯特惯性定理指出，任意非奇异矩阵S可以将对称矩阵A转化为另一个对称矩阵B。
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对称矩阵可以做LDLt分解，D为对角矩阵，可以容易获取对称矩阵的惯性，但分解不一定总是存在且可能数值不稳定。
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矩阵合同适用于对称方阵，强调特征值特征相同。
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矩阵等价是指存在可逆矩阵P和Q，使得B = P A Q，充要条件是秩相同。
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矩阵相似是指存在可逆矩阵P，使得B = P A P-1，要求矩阵A和B有相同的特征值。
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