SAIR竞赛：安德鲁斯–柯蒂斯猜想挑战赛
内容提要
陶哲轩等人发起安德鲁斯–柯蒂斯猜想挑战赛，由SAIR基金会与加州理工Math-AI团队合办。该猜想称平凡群的平衡表示可经AC变换化为平凡表示，与低维拓扑及四维光滑庞加莱猜想相关。比赛设发现赛道，提供10115个二生成元表示，要求寻找最短平凡化路径；证明赛道接受证明或反例。截止日期为2026年11月30日，欢迎AI工具参与。
延伸解读
竞赛设计的独特之处
安德鲁斯–柯蒂斯猜想挑战赛将开放数学问题转化为可自动验证的搜索任务。发现赛道提供10115个二生成元平衡表示，要求寻找最短平凡化路径，并采用排行榜竞争机制，只有最短解能得分，这鼓励参与者不断优化解法。证明赛道则接受证明或反例，且反例无需来自竞赛池。这种设计既适合AI工具参与，也保留了传统数学证明的严谨性。
与拓扑学的深层联系
该猜想不仅属于组合群论，还与低维拓扑紧密相关。其潜在反例涉及异种光滑四球面和四维光滑庞加莱猜想，稳定版本则等价于Zeeman猜想的一个限制形式。这意味着竞赛中寻找反例或证明，可能对理解四维光滑结构产生直接影响。文章提到，稳定AC猜想与有限可缩多面体在二维实现简单同伦等价的问题等价。
计算难度与路径长度
尽管猜想陈述简单，但寻找平凡化路径可能极其困难。Bridson和Lishak证明存在AC平凡表示，其平凡化路径长度增长快于任何固定高度的指数塔；Bridson还给出一个四生成元表示，需要超过特定步数才能平凡化。即使允许稳定化移动，这些下界依然成立。因此，竞赛中许多实例可能远超当前计算能力，参与者需有心理准备。
参与方式与时间节点
竞赛于2026年9月11日开放，截止日期为2026年11月30日。发现赛道和证明赛道均欢迎AI工具，可个人或团队参赛。发现赛道提交的路径在竞赛期间保密，结束后所有有效解将公开形成基准。证明赛道提交公开供社区评审，组织者可能评估部分声明以给予竞赛认可。注册和讨论可通过竞赛页面及SAIR Zulip进行。
Q&A
安德鲁斯–柯蒂斯猜想是什么？
安德鲁斯–柯蒂斯猜想断言：平凡群的任何平衡表示都可以通过AC变换化为平凡表示。该猜想是组合群论中著名的开放问题，并与低维拓扑有深刻联系。
SAIR竞赛的发现赛道具体要解决什么问题？
发现赛道要求参赛者针对10115个二生成元平衡表示，寻找最短的平凡化路径。AC路径终点为平凡表示，稳定AC路径终点为空表示。稳定AC搜索允许最多八个生成元。
证明赛道接受什么样的提交？
证明赛道接受对完整猜想的证明或反例。反例不需要来自竞赛提供的表示池。提交将公开供社区评审，组织者可能对选定的声明进行评估以给予竞赛认可。
为什么安德鲁斯–柯蒂斯猜想适合作为竞赛题目？
该猜想可以表述为组合搜索问题，且解容易验证，因此适合竞赛形式。同时它与低维拓扑、四维光滑庞加莱猜想等深刻问题相关，潜在反例对寻找异种光滑四维球面有重要意义。
稳定安德鲁斯–柯蒂斯猜想与拓扑学有什么联系？
稳定AC猜想等价于：在有限可收缩多面体情形下，Wall关于维数3及以上用一维额外维度实现简单同伦等价的结果在维数2也成立。它还等价于低维拓扑中Zeeman猜想的一个限制形式。
竞赛的截止日期和参与方式是什么？
竞赛于2026年11月30日截止。欢迎AI工具参与，可以个人或团队形式报名。注册在竞赛页面开放，并鼓励在SAIR Zulip上交流想法。
