本研究使用卷积神经网络构建的自编码器在处理复杂非线性问题时表现出色，并提供了基于CNN的自编码器的新实用存在定理。该定理适用于参数化偏微分方程类。

利用物理知识驱动的深度学习方法提高了异质固体中参数化偏微分方程的解决效率和预测准确性。通过建立热导率、温度和热流之间的联系，该方法能更准确且更快地预测温度和通量剖面。

利用物理知识驱动的深度学习方法解决异质固体中的参数化偏微分方程，通过建立热导率、温度和热流之间的联系，使用离散弱形式的损失函数定义方法，提高了训练效率。与有限元方法相比，使用训练有素的神经网络可以更准确且更快地预测温度和通量剖面。与纯数据驱动方法相比，该方法在未知情况下具有更高的准确性。

利用物理知识驱动的深度学习方法解决异质固体中的参数化偏微分方程，通过建立热导率、温度和热流之间的联系，固定边界条件，并使用离散弱形式的损失函数定义方法，提高了训练效率。与有限元方法相比，使用训练有素的神经网络可以更准确、更快地预测温度和通量剖面。该方法在未知情况下具有更高的准确性。

使用基于LoRA的HyperPINN模型，通过添加基于物理方程的损失组件，显著改善了模型的泛化能力，能够有效地求解参数化偏微分方程。相比其他基准模型，平均减少了8倍的参数预测，而不影响模型精度。

本文介绍了一种新的方法，使用有限元算子网络（FEONet）结合深度学习和传统的数值方法来解决参数化偏微分方程。该方法成功解决了多个基准问题，展现出更高的精确度、泛化能力和计算灵活性。此外，该方法还展示了在模拟具有不同边界条件和奇异行为的复杂领域中的潜在应用前景，并提供了有限元逼近在数值分析中支持该方法的理论收敛性分析。