本研究探讨了物理启发式神经网络（PINNs）及其改进版本在求解偏微分方程（PDEs）中的应用。引入鲁棒版本的PINN（RPINN）和其他新框架，展示了在无标注数据情况下建模弹性动力学的可行性，并解决了复杂边界条件的问题。研究结果表明，改进后的模型在精度和效率上表现良好，适用于处理不规则几何形状和非结构化网格。

该研究提出了一种基于深度学习的神经Galerkin方法，用于高维偏微分方程的数值求解。该方法通过自适应训练数据，成功模拟多变量系统的波动与相互作用，并在高维空间中有效处理复杂边界条件，特别适用于随机控制问题和非线性系统。

本文介绍了一种基于物理信息神经网络（PINNs）的新框架，旨在提高微震成像和波场解决方案的效率与准确性。通过引入因果损失和多频率波场，解决了数据稀疏性问题，并在多个实验中验证了其有效性。研究还探讨了PINNs在不同物理系统中的应用，展示了其在处理复杂边界条件和优化问题中的潜力。