本文综述持久图距离度量研究，提出基于黎曼几何的度量，将持久图建模为希尔伯特球上的概率密度函数；介绍可调复杂性的扩展拓扑伪距离，在持续矢量化与Wasserstein距离间插值；还涉及多项式转换、拓扑聚类、Wasserstein重心逼近、量子算法及核方法，并验证其性能优势。

本文综述持久图度量与拓扑数据分析的进展，涵盖黎曼几何、Sliced Wasserstein核、Persistence Fisher核、最优传输聚类、Betti函数时变图分析、多项式转换、差分隐私持久图及直方图集合检验等方法，并应用于脑网络、蛋白质和加密货币等领域。

拓扑数据分析（TDA）应用广泛，包括投资组合管理与市场崩盘预警、从时变图数据提取形状信息、检测恶意软件和Windows日志异常，以及推动拓扑深度学习。相关方法有持久图、Betti函数、聚类与降维等，实验证明其性能优于传统方法。