本文探讨了二次剩余理论与椭圆曲线上的配对映射在现代密码学中的重要性。二次剩余用于判断平方根的存在性和高效计算，而配对映射则支持身份加密和BLS签名等新型密码学构造。两者在椭圆曲线密码学中紧密结合，推动了密码学的发展。

本文探讨了公钥密码学的数学基础，包括模运算、群论、原根和离散对数等概念。介绍了扩展欧几里得算法和中国剩余定理，强调它们在RSA和Diffie-Hellman等密码协议中的重要性。同时讨论了素性测试和整数分解的困难性，指出RSA的安全性依赖于大整数分解的难度。

GPT-5.2 Pro独立证明了埃尔德什猜想，经过陶哲轩验证，未发现错误。该问题已有更简单的解法，涉及经典定理。陶哲轩提醒在评估AI成功率时需注意报告偏差，真实成功率约为1%至2%。

苏州大学副教授张涵及其团队在《美国数学杂志》上发表论文，解决了40年未决的丢番图逼近问题，推广了辛钦定理至自相似测度，揭示了分形与普通线段的逼近规律相同，为数论和分形几何等领域提供了重要参考。

GPT-5 Pro重新发现了早在2003年已解决的埃尔德什问题#339，该问题涉及数论中的加法基方向和整数集合的密度。GPT-5 Pro通过图片定位相关文献，引发网友关注，展示了其在学术研究中的潜力。

中国科学院数学与系统科学研究院与中国科学院大学教育基金会联合主办的首届陈景润奖揭晓，共有两项研究成果获奖。获奖者分别是山东大学教授黄炳荣和中国科学院研究员聂思安。陈景润奖旨在奖励中国完成的数论与代数方向40岁以下青年人才的杰出成果。

乘法逆元是数论中的重要概念，定义为对于整数a和模数m，若存在b使得a·b≡1（mod m），则b为a在模m下的乘法逆元。常用的求解方法包括扩展欧几里得算法和费马小定理。扩展欧几里得算法高效求解逆元，而费马小定理适用于质数模。若a与m不互质，则逆元不存在。

模幂运算加解密的条件是：gcd(e, φ(n))=1，e*d≡1(mod φ(n))，m<n。欧拉函数φ(n)表示[1,n]中与n互素的整数个数。欧拉定理和Carmichael定理是模幂运算的基础。RSA算法要求n是两个大素数的积，但这不是欧拉定理的要求。当n是单素数时，也可以满足欧拉定理。

我也不知道这是从哪本书上抠来的？ 整除 定义 1：如果 $a$ 和 $b$ 为整数且 $a \ne 0$，我们说 $a$ 整除 $b$ 是指存在整数 $c$ 使得 $b=ac$。如果 $a$ 整除 $b$，我们还称 $a$ 是 $b$ 的一个因子，且称 $b$ 是 $a$ 的倍数。 如果 $a$ 整除 $b$，则将其记为 $a \mid b$，如果 $a$ 不能整除...

文章讨论了整数的整除、最大公因子、线性组合和同余等数学概念，定义了整除条件，提出了相关定理和推论，包括带余除法和最大公因子的求法及性质。介绍了扩展欧几里得算法用于求解线性方程的特解，以及同余方程的解法，并通过实例展示了这些理论的实际应用。

快速幂算法通过二分法将幂运算的复杂度从O(n)降低到O(log n)。该算法适用于整数和矩阵的快速幂运算，利用结合律实现高效计算。实现时需定义矩阵类并重载运算符，以支持矩阵乘法和快速幂运算。

本文介绍了求素数的线性筛法和快速线性筛法。线性筛法通过假设所有数为素数，逐步筛除合数，效率较高。快速线性筛法避免了重复筛除，几乎达到线性时间复杂度，关键在于利用素数的乘积特性，确保筛除过程的有效性。