欧几里得算法是一种有效求解两个整数最大公约数的方法，通过不断减去较小的数，直到其中一个为零。扩展欧几里得算法可用于求解线性方程，而Stein算法则利用移位和加减法计算最大公约数，适合处理大素数。最大公约数在数论中有重要应用，如求解不定方程和模线性方程。