本文讨论线性方程组的核心概念，特别是如何将方程转化为矩阵形式$AX=B$。根据方程数量$M$与变量数量$N$的关系，情况分为三种：$M=N$时有唯一解或无限解；$M>N$时通常无解，需寻找最小误差解；$M<N$时通常有无限解。接下来探讨利用伪逆和最小二乘法解决这些问题。

高斯消元法是一种用于求解线性方程组的有效算法，通过将系数矩阵转化为上三角形形式来实现，主要包括前向消元和回代两个步骤。该算法广泛应用于机器学习和物理模拟等领域，时间复杂度为O(N³)。

欧几里得算法是一种有效求解两个整数最大公约数的方法，通过不断减去较小的数，直到其中一个为零。扩展欧几里得算法可用于求解线性方程，而Stein算法则利用移位和加减法计算最大公约数，适合处理大素数。最大公约数在数论中有重要应用，如求解不定方程和模线性方程。