研究分析了线性全连接神经网络在置换群作用下的等变和不变函数。文章探讨了这些函数的维数、度数、欧氏距离和奇点。对任意置换群的不变性和循环群的等变性进行了全面表征，并提出了等变和不变线性网络的设计方法，如权重共享。证明所有不变的线性函数可以通过线性自编码器学习。

该研究提出了一种方法，可以发现置换群 S_n 的隐藏子群 H。通过学习 S_n 不变函数和线性变换，可以发现任何类型为 S_k (k ≤ n) 的子群，包括循环子群和二面体子群。文章还提供了一个通用定理，可以扩展到发现 S_n 的其他子群。数值实验验证了结果的适用性。

该文研究了置换群作用下的线性全连接神经网络的等变或不变的函数子变种，提供了其维数、度数、欧氏距离度数和奇点的描述，并对任意置换群完全表征了不变性和循环群的等变性。文章还提出了等变和不变的线性网络的参数化和设计结论，证明所有不变的线性函数可以通过线性自编码器进行学习。

该文介绍了一种方法，可以发现置换群S_n的子群H。学习S_n不变函数和线性变换，可以发现S_k(k≤n)的子群，包括循环子群和二面体子群。作者提供了一个通用定理，并通过数值实验验证了结果的适用性。