本文研究了量子纯度和量子内积估计的样本复杂性，提出了一种新协议，需 $O(median\\{1/\epsilon^2,2^{n/2}/\epsilon,2^{n-k}/\epsilon^2\\})$ 的量子态副本。研究表明，两种估计的样本下界相等，为量子计算的资源效率提供了重要见解。