自动微分在深度学习中利用链式法则计算梯度，涉及雅可比矩阵和向量-雅可比积。正向模式和反向模式分别从前向和后向计算雅可比矩阵乘积，以优化存储和计算复杂度。

本文直观地阐述了多变量链式法则，基于雅可比矩阵的矩阵乘法，统一了一元与多元链式法则。通过示例展示了线性和二次函数的梯度及最小二乘问题的优化，强调了链式法则在数学中的广泛应用。

导数是描述函数输入变化时输出变化的基本概念，主要包括普通导数、偏导数、方向导数和全导数。导数通过极限定义，适用于标量和向量值函数。偏导数用于多变量函数，方向导数测量特定方向的变化，全导数则是各偏导数的组合，通常用雅可比矩阵表示。

本研究提出了一种新方法，通过将目标语义区域的雅可比矩阵投影到低维子空间，实现精确的语义发现与局部控制，无需额外训练。实验结果表明，该方法在多个数据集上表现优异，尤其在特定人脸属性编辑中超越了监督学习。

本文研究了深度神经网络输入输出雅可比矩阵的奇异值分布，分析了深度、权重初始化与非线性性之间的关系。结果表明，ReLU网络无法实现动态等距，而Sigmoid网络需要正交权重初始化才能实现等距，且学习效率更高。此外，提出了一种新的初始化方案以解决LSTMs和GRUs的训练不稳定性，并探讨了神经网络初始化的尺度问题及其对模型构建的重要性。

本研究提出了一种新拟牛顿方法，用于解决平滑和单调非线性方程，特别是无约束最小化和最小最大优化问题。通过在线学习更新雅可比矩阵，该方法在强单调性下比传统外梯度方法具有更好的全局收敛性和更快的收敛速度。

该研究证明了深度神经网络和雅可比矩阵在隐藏层宽度趋近无穷时收敛于高斯过程，并验证了理论断言与宽有限网络的相关性。研究还探讨了雅可比矩阵正则化的性质。

该研究提出了一种新的神经网络族的表征，建立了一种基于边际的数据相关的广泛深度神经网络泛化误差界限，并将其与深度、宽度以及网络的雅可比矩阵联系起来。该研究实现了更紧的泛化下界，可以进一步改善泛化下界。该研究的结果可以应用于推导流行的体系结构，包括卷积神经网络和残差网络。

隐式微分讨论了如何在已知某些偏导数的情况下，利用隐式函数关系进行微分。通过设定方程 x = a_1 y_1 + a_2 y_2，可以推导出偏导数的关系，并探讨多个方程的情况，引入雅可比矩阵的概念，最终得出在可逆矩阵条件下的偏导数表达式。