本研究提出了一种新拟牛顿方法，用于解决平滑和单调非线性方程，特别是无约束最小化和最小最大优化问题。通过在线学习更新雅可比矩阵，该方法在强单调性下比传统外梯度方法具有更好的全局收敛性和更快的收敛速度。

本文探讨了物理信息神经网络（PINN）的应用，强调其通过融入物理知识显著提高动力学模型的预测准确性。研究表明，PINN在处理非线性方程和随机动力学系统时表现优越，尤其在数据不足的情况下仍能高效求解。此外，转移学习的应用增强了PINN的训练效率和鲁棒性，适用于多种复杂问题。

在弯曲流形环境下，提出了Riemann版Nesterov加速梯度算法(RAGD)，证明了RAGD算法在极小值附近具有加速收敛性，相比Liu等人(2017)的算法少了对非线性方程的精确求解，具有构造性和可计算性。使用了一个新的估计序列和关于非线性度量扭曲的新界定。