2026年CNMO的几何题的解答（一）
内容提要
本文解答2026年中国北方数学奥林匹克几何题：已知三角形ABC外接圆与内切圆，切点D作DS垂直EF，圆O与AI直径圆交于T，证明T、S、I三点共线。提供三种解法：同一法结合配极、相似与反演、硬算，均严谨推导出结论。
延伸解读
三种解法的思路对比
本文针对同一道几何题给出了三种解法：解法一采用同一法结合配极理论，通过极线与极点的关系转化条件；解法二利用相似三角形与反演变换，将问题转化为比例关系；解法三则通过三角函数进行硬算。三种方法从不同角度切入，展示了平面几何中常见技巧的灵活运用，适合读者对比学习。
解法三的实用提示
解法三的硬算过程涉及较多三角恒等变换，计算量较大。文中提到DeepSeek-V4-Pro-0813和Qwen3.8-Max都给出了这一证明方法，说明该思路在AI辅助下可行。读者在尝试时需注意角度关系的推导，尤其是∠TBA的表达式，避免因符号或象限判断失误导致错误。
对竞赛备考的参考价值
该题作为中国北方数学奥林匹克加试的几何题，具有一定的难度和代表性。三种解法覆盖了配极、反演、三角计算等竞赛常用方法，对于备考学生而言，理解不同解法的适用场景和转化技巧，有助于提升解决复杂几何问题的能力。
Q&A
2026年中国北方数学奥林匹克几何题的具体内容是什么？
题目为：已知三角形ABC的外接圆和内切圆分别为⊙O和⊙I，⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F。过点D作DS⊥EF于点S。若⊙O与以AI为直径的圆的第二个交点为T，证明T、S、I三点共线。
这道几何题有哪些不同的证明方法？
文章提供了三种解法：解法一使用同一法结合配极；解法二使用相似与反演；解法三为硬算，由DeepSeek-V4-Pro-0813和Qwen3.8-Max给出。
解法一（同一法+配极）的核心思路是什么？
解法一通过设S'为EF与TI的交点，利用配极原理，证明S'与S重合。关键步骤包括：由S'在A的极线EF上，推出AT为S'的极线；由Q在AT上且D的极线为BC，推出Q的极线为DS'，从而QI⊥DS'。然后通过构造Q'，证明Q'与Q重合，进而得到QI⊥AI，最终推出DS'⊥EF，故S'=S。
解法二（相似+反演）中如何利用反演变换？
解法二以A为反演中心，AE为反演半径建立反演变换。通过相似三角形得到AT·AP=AF²=AE²，因此T与P互为反演点。反演后，三角形ABC的外接圆变为过P的直线，B、C的反演点分别为B'、C'。利用梅涅劳斯定理和计算，最终得到TE/TF=SE/SF，从而证明S在∠ETF的平分线上，而TI也平分∠ETF，故S在TI上。
解法三（硬算）的主要计算步骤是什么？
解法三设内径为r，外径为R，角A=2α，B=2β，C=2γ，则α+β+γ=90°，且r=4R sinα sinβ sinγ。通过计算三角形DEF的边长和角度，得到FS、FM、IM，进而求出tan∠AIS。再设∠TAI=θ，利用AT的两种表达式（AI cosθ和2R cos(θ+β-γ)）推导出cotθ的表达式，最终得到tan∠AIT = tan∠AIS，从而证明三点共线。
这道题中涉及哪些重要的几何概念？
涉及的概念包括：外接圆、内切圆、切点、垂线、极线与配极、反演变换、相似三角形、角平分线、以及三角恒等变换等。
