让炼丹更科学一些（二）：将结论推广到无界域
💡
原文中文，约9700字，阅读约需24分钟。
📝
内容提要
本文重启“科学炼丹”专题，探讨SGD在无界域的收敛性。通过引入期望形式简化推导，得出更宽松的收敛结论，强调学习率策略的重要性，具有理论与实践的参考价值。
🎯
关键要点
- 本文重启“科学炼丹”专题，探讨SGD在无界域的收敛性。
- 引入期望形式简化推导，得出更宽松的收敛结论。
- 强调学习率策略的重要性，具有理论与实践的参考价值。
- SGD的收敛性依赖于一些适当的假设，包括有界凸集和学习率的单调递减性。
- 为了保证有界性，SGD被修改为投影SGD。
- 通过期望形式消去对数据变量的依赖，简化后续推导。
- 最终得出关于学习率的两个经典条件，以确保收敛性。
- 推广到无界域的代价是收敛速率略微放大，但对实践影响不大。
- 式$ ef{leq:avg-3}$提供了更宽松的收敛结论，允许更灵活的学习率调度。
❓
延伸问答
SGD在无界域的收敛性有什么新发现？
本文通过引入期望形式，得出了更宽松的收敛结论，强调学习率策略的重要性。
学习率策略在SGD收敛性中起什么作用？
学习率策略对SGD的收敛性至关重要，适当的学习率调度可以确保收敛性。
如何保证SGD的有界性？
为了保证有界性，SGD被修改为投影SGD，通过投影操作确保优化轨迹在有界凸集内。
推广到无界域的代价是什么？
推广到无界域的代价是收敛速率略微放大，但对实践影响不大。
期望形式在推导中有什么作用？
期望形式的引入消除了对数据变量的依赖，简化了后续推导过程。
本文对SGD的收敛性结论有什么理论与实践价值？
本文的收敛性结论为实际应用提供了理论支持，尤其是在LLM时代，具有参考价值。
➡️
