一种解决低维 k-means 聚类问题的割平面算法
内容提要
该文汇总多项聚类研究：提出融合K-means、mean-shift与图拉普拉斯的Laplacian K-modes算法，采用ADMM/AMA求解凸聚类且AMA更优；研究监督式聚类、多核学习及并行投影方法；证明欧氏k-means近似为NP难并存在维数指数下界，同时探索PCA改进聚类反问题。
延伸解读
低维 k-means 的近似难度
文章指出，欧几里得空间中的 k-means 问题即使对于所有 k 和 d 都是 NP 难的，并且存在关于维数的指数下界。这意味着在低维情况下，精确求解仍然困难，但近似算法可能提供可行的解决方案。
Laplacian K-modes 的融合思想
Laplacian K-modes 算法融合了 K-means 的隐式分配变量、mean-shift 的密度估计和图拉普拉斯正则化，能够处理难以聚类的问题，并提供预测新点的软分配映射。后续工作通过优化辅助函数提高了可伸缩性，实现了大规模数据的并行化聚类。
凸聚类求解方法的比较
针对凸聚类问题，文章比较了 ADMM 和 AMA 两种方法。实验结果表明，AMA 在复杂度和准确率方面均优于 ADMM，这为选择高效求解算法提供了参考。
Q&A
Laplacian K-modes 聚类算法融合了哪些思想？
Laplacian K-modes 融合了 K-means 中的隐式分配变量、mean-shift 中的密度估计以及图拉普拉斯正则化效应中的近邻点相似性分配。
解决凸聚类问题时，ADMM 和 AMA 哪种方法更优？
实验结果表明，AMA 相比 ADMM 在复杂度和准确率方面更优。
欧几里得 k-means 问题的近似难度如何？
欧几里得 k-means 问题的近似难度是 NP-hard，并且提出了最小近似系数 1.0013。
k-means 算法是否存在关于维数的指数下界？
是的，证明了 k-means 算法存在关于维数的指数下界，并以平面上的简单构造为例给出了证明。
基于局部策略的多核学习方法有什么优势？
对于应用于计算生物学和计算机视觉等领域的真实数据集，相比全局和非凸局部策略，该方法能够获得更高的预测准确性。
如何通过主成分分析改进聚类反问题？
研究探索了通过主成分分析来改进聚类反问题质量的尝试，并比较了两种定量特征选择方法之间的关系，使用神经科学数据库中的功能性磁共振成像范例验证了结果。
