使用基于物理信息的神经网络求解椭圆型最优控制问题

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通过使用物理知识的神经网络方法，我们提供了一个数值求解器来解决线性和半线性二阶椭圆问题的最优控制问题，并进行了误差分析和性能比较。

本文通过使用深度卷积神经网络和球谐分析的最新近似结果，对物理信息的卷积神经网络（PICNN）在球面上求解偏微分方程的数值性能进行了严格的分析，并证明了其与 Sobolev 范数的逼近误差的上界。随后，结合创新的定位复杂度分析，建立了 PICNN 的快速收敛速率。理论结果得到了实验的证实和补充。根据这些发现，探索了解决高维 PDEs 时出现的维度诅咒的潜在策略。