如鱼饮水
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2025 年高联二试（A 卷）几何题的解答
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原文中文，约1900字，阅读约需5分钟。
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内容提要
在三角形ABC中，D为边BC的中点，AD延长线与外接圆交于点P。通过B、P作圆与AC相切于E，C、P作圆与AB相切于F。利用梅涅劳斯定理证明AD、BE、CF三线共点。
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关键要点
- 在三角形ABC中，D为边BC的中点，AD延长线与外接圆交于点P。
- 通过B、P作圆与AC相切于E，C、P作圆与AB相切于F。
- 利用梅涅劳斯定理证明AD、BE、CF三线共点。
- 证明的关键是E和F的构造条件，且EF平行于BC。
- 设J为AC与BP的交点，K为AB与CP的交点，利用圆幂定理得到JE和KF之间的比例关系。
- 由ABPC共圆可知△DJK是自配极三角形，O为其垂心，JK平行于BC。
- 通过计算得出JE²/KF²的比例关系，最终证明AF/FB·BD/DC·CE/EA=1。
❓
延伸问答
如何证明三线AD、BE、CF共点？
通过梅涅劳斯定理，证明AF/FB·BD/DC·CE/EA=1，从而得出三线共点。
在三角形ABC中，D的角色是什么？
D是边BC的中点。
如何构造点E和F？
通过B、P作圆与AC相切于E，C、P作圆与AB相切于F。
梅涅劳斯定理在此证明中的作用是什么？
梅涅劳斯定理用于证明三线AD、BE、CF共点的条件。
如何利用圆幂定理得到JE和KF之间的比例关系？
利用交点J和K以及圆幂定理，可以得到JE²/KF²的比例关系。
为什么EF平行于BC？
因为通过构造条件和比例关系，可以证明EF平行于JK，而JK又平行于BC。
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