解析2025LitCTF ez_math
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内容提要
本文探讨了基于2×2矩阵的CTF密码学题目，运用Cayley-Hamilton定理推导有限域扩域理论，并通过商环计算成功恢复加密矩阵中的flag，展示了数学推导与算法的优雅与简洁。
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关键要点
- 本文探讨了基于2×2矩阵的CTF密码学题目，运用Cayley-Hamilton定理推导有限域扩域理论。
- 给定加密系统B = A^e mod p，目标是从B中恢复A_{11}（即flag）。
- 有限域基础定义在素数p上，运算包括加法和乘法，乘法逆元存在。
- GL(2,p)群的阶为(p^2 - 1)(p^2 - p)，有效阶为p^2 - 1。
- Cayley-Hamilton定理表明矩阵满足其自身的特征方程。
- 通过递推可以得到任意k的矩阵幂次表达式。
- 扩域的构造通过添加不可约多项式的根来实现。
- 商环的定义为R = F_p[x]/(chi_B(x))，其中chi_B(x)是B的特征多项式。
- 商环中的运算可以通过显式表示进行，快速幂算法在商环中实现。
- 通过特征值与矩阵重构的关系，最终得到flag的计算公式。
- 私钥计算需要验证条件gcd(e, p^2-1) = 1，并使用扩展欧几里得算法。
- 算法复杂度分析显示时间复杂度为O(log(p^2-1))，空间复杂度为O(1)。
- 方法可推广到n×n矩阵及其他代数结构，具有广泛的实际应用场景。
- 通过严格的数学推导，成功解决了2×2矩阵幂次逆向问题，展示了理论完整性和算法优雅性。
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