一种新的鲁棒部分 $p$-Wasserstein 比较分布度量
内容提要
该研究提出了一种新算法，通过熵正则化和高斯核矩阵低秩逼近，计算点云间的二次输运度量（2-Wasserstein 距离），其复杂度为 O(n)。研究表明，Wasserstein 距离在逆问题中具有平滑效应，并在有限维度中优化性能优于传统距离。此外，还探讨了收敛速度、优化问题及深度模型的鲁棒性提升。
延伸解读
算法效率与实现基础
文章提出的算法通过熵正则化、近似Sinkhorn缩放和高斯核矩阵低秩逼近，将计算两个点云或离散分布之间二次Wasserstein距离的复杂度降至O(n)。这一效率提升使得Wasserstein距离在大规模点云数据上的应用成为可能，为后续的优化和鲁棒性研究提供了计算基础。
Wasserstein距离在逆问题中的优势
研究表明，二次Wasserstein距离作为逆问题中的数据差异度量，在无限维度情况下对反演过程具有平滑效应，而在有限维度问题中，相比经典的L2和H-1距离，展现出更好的优化凸性质。这意味着在逆问题优化中，使用Wasserstein距离可能更易于获得稳定且优质的解。
收敛速度与统计推断
文章探讨了概率测度在Wasserstein距离下的收敛速度，指出随着样本量增加，测度可能呈现不同的收敛速度。此外，还给出了经验测度与给定分布之间收敛速度的非渐进Lp限制和浓度不等式，并将结果扩展到混合序列、马尔可夫链和粒子系统，为基于样本的统计推断提供了理论工具。
鲁棒性提升与优化算法
针对深度模型易受小型攻击的问题，文章提出了在Wasserstein距离约束下的投影梯度攻击算法，该算法收敛更快且能生成更强的攻击模型，从而提升模型鲁棒性。同时，对于Wasserstein投影寻优问题，提出了基于Riemannian优化的三种算法，并在实验中证明了其在PRW距离计算中的优越性。
Q&A
什么是二次输运度量（2-Wasserstein 距离）？
二次输运度量（2-Wasserstein 距离）是用于计算两个点云或离散分布之间的距离的一种度量，具有平滑效应和优化性能。
该研究提出的算法有什么特点？
该研究提出的算法通过熵正则化和高斯核矩阵低秩逼近，计算复杂度为 O(n)，适用于点云间的二次输运度量。
Wasserstein 距离在逆问题中有什么作用？
Wasserstein 距离在逆问题中具有平滑效应，并在有限维度中优化性能优于传统距离。
研究中提到的收敛速度是如何变化的？
研究表明，随着样本量的增加，概率测度的收敛速度会有所不同。
如何提高深度模型的鲁棒性？
通过在Wasserstein距离约束下使用投影梯度攻击算法，可以提高深度模型的鲁棒性。
研究中提出了哪些优化算法？
研究提出了基于Riemannian优化算法的三种算法，针对Wasserstein投影寻优问题进行了实验验证。
