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非凸 -(强) 凹最小极大问题的两种完全无参参数的交替梯度投影算法
内容提要
本文提出了一种统一的单循环交替梯度投影算法，旨在解决光滑的非凸-凹和凸-非凹极小-最大化问题。证明该算法在不同设置下能够找到ε-稳定点，且梯度复杂度为O(ε^-2)或O(ε^-4)。研究还涵盖了零阶和二阶算法，展示了其在确定性和随机设置下的有效性及复杂度保证。
关键要点
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提出了一种统一的单循环交替梯度投影 (AGP) 算法，解决光滑的非凸-凹和凸-非凹极小-最大化问题。
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该算法在不同设置下能够找到目标函数的 ε-稳定点，梯度复杂度为 O(ε^-2) 或 O(ε^-4)。
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研究了零阶算法在确定性和随机设置下的应用，提出了 ZO-PDAPG 和 ZO-RMPDPG 两种算法，具有迭代复杂度保证。
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针对非凸凹情况，应用交替梯度下降方法找到临界点并证明了新的全局收敛速率。
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提出了 Lipschitz-free cubic regularization (LF-CR) 和 fully parameter-free cubic regularization (FF-CR) 算法，解决凸凹极小极大问题，且 FF-CR 是首个完全无参数的二阶算法。
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研究了加速的近端点方法和最小值近端步求解器，梯度复杂度为 O(kappa_x kappa_y^0.5)，适用于多种函数问题。
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分析了交替 GDA 和平滑 GDA 算法在纳什均衡问题中的收敛速度，提供了最佳的单循环算法复杂度结果。
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研究了一阶方法解决平滑最小最大优化问题，改进了已知最佳速率。
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提出了一种新的 MinMax 优化算法家族，利用早期迭代的梯度数据进行自适应检测。
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在非凸优化问题中，研究了加速近端梯度法 (APGnc) 及其随机方差减少算法，证明了收敛速率。
延伸问答
什么是交替梯度投影算法？
交替梯度投影算法是一种用于解决光滑的非凸-凹和凸-非凹极小-最大化问题的算法，能够找到目标函数的ε-稳定点。
该算法的梯度复杂度是多少？
该算法的梯度复杂度为O(ε^-2)或O(ε^-4)。
零阶算法在非凸最小最大问题中的应用是什么？
零阶算法在非凸最小最大问题中提供了两种单环算法，ZO-PDAPG和ZO-RMPDPG，具有迭代复杂度保证。
FF-CR算法有什么特点？
FF-CR算法是首个完全无参数的二阶算法，解决凸凹极小极大问题，其迭代复杂度与现有带参数算法的最优下界一致。
如何提高纳什均衡问题的收敛速度？
通过使用交替GDA和平滑GDA算法，可以在满足Polyak-Lojasiewicz条件时提高纳什均衡问题的收敛速度。
加速近端梯度法在非凸优化中的作用是什么？
加速近端梯度法在非凸优化中能够证明生成序列的极限点是目标函数的临界点，并获得线性和次线性的收敛速率。
