本文探讨了等变神经网络的设计与应用，强调了对称性在神经网络中的重要性。通过引入对称性，提出了构建置换等变神经网络的框架，并分析了其在多层和卷积神经网络中的表现。研究表明，等变网络在处理对称数据时表现优越，为不变神经网络的代数学习理论奠定了基础。

本文介绍了全连接的多层网络和特别设计的检测网络（DetNet）两种不同的深度神经网络结构，比较了它们的准确性和运行时间，并成功实现了最先进的性能。证明这些网络可以被修改为产生软决策。

本文研究了多层网络的聚类网络的基本极限，并提出了一种新型两阶段网络聚类方法。实验证明该方法优于现有方法，并将其扩展到离散分布混合中，达到离散混合中的最小极大聚类错误率。