基于观测数据和噪声扰动，准确地发现和预测动力学仍然是一项重要的挑战。我们提出了汉密尔顿神经库普曼算子（HNKO），它集成了数学物理知识以学习库普曼算子，并使其可以自动维持并发现守恒定律。我们通过使用许多代表性物理系统，甚至具有数百或数千个自由度的系统，展示了 HNKO 及其扩展的优越性。我们的结果表明，在学习框架中适当地提供底层系统的先验知识和数学理论可以增强机器学习在解决物理问题上的能力。

本文探讨了有限维代数操作在揭示守恒定律中的应用，强调神经算子在复杂物理系统建模中的有效性。研究表明，结合 Hamilton 力学与神经网络可以提高学习效率，遵循物理守恒定律，并在能量守恒等问题上展现更快的训练速度和更好的泛化能力。

该研究应用机器学习技术建立动力学模型，并利用Lie对称技术分析运动常数，涵盖一维和二维谐振子的守恒与非守恒情况。同时探讨了神经网络在学习系统动力学和运动常数中的应用，强调物理知识对模型训练的重要性。

本文提出了一种潜在动态学习的方法，通过深度卷积自编码器计算高维动力系统状态的低维嵌入，并定义了一个低维的非线性流形使状态进行演化。同时，定义了潜在动力学模型，该模型的目标函数为有限体离散化中控制体内守恒定律违规平方和加上非线性等式约束，确保潜在状态满足守恒定律。

宇宙中存在各种守恒定律和保守属性，高能量碰撞可以创造物质和反物质，施温格效应证明了宇宙的起源。2022年，实验室中利用石墨烯产生了强电场，自发产生了粒子-反粒子对。量子是存在的基本单位，即使没有粒子，量子场仍然存在。电磁力和引力是远程力，空间无法完全清空。

杂事三则。 （一）五脚星同学昨天昨天点儿顺，走路捡到了馅儿饼，回来说这辈子的运气都用光了，我说，那以后所有的发票刮奖都留给我刮好了（反正她的“点儿”变量已经服从一个退化分布了）。 （二）林老太太上午看见我，“嘿！~~大冷天的你还光着个脚丫子！不冷啊？”——我现在还穿凉鞋，老太看见后很吃惊，我说不冷啊。下午又看见我一次，“嘿！~你光着个脚丫子也不怕冷啊？”我又说一点都不冷啊，老太又叮嘱说这样容...