该文汇总多项研究：Sobolev训练同时优化网络输出与导数；变分算子学习（VOL）以近乎无标签方式求解PDE；核分类器超额风险上界及Sobolev空间极小下界；PDE解算子代理模型用于最优控制；从输入输出对恢复双曲型PDE解算符的概率算法。