本文探讨了深度残差网络（ResNet）的逼近能力，证明了其在动态同构和随机梯度下降中的有效性。研究表明，ResNet增强了窄深度网络的表征能力，并揭示了神经网络与控制系统之间的关系。通过数值实验验证了ResNet在分类任务中的训练效果，并提出了一种新的耗散式训练方法。

本文探讨了图像处理中的损失函数，提出了可微错误函数以提高图像恢复质量。研究介绍了深度残差网络的理论框架和可逆神经网络架构，开发了基于截断展开的分解卷积滤波器（DCFNet），在减少参数的同时保持分类准确性。此外，分析了ResNet的跳跃连接效应，并提出了优化方法以训练更深的网络。

本文探讨了深度残差网络的连续极限，提出了多层神经网络的全局收敛结果及训练方案，展示了在基准数据集上的优异表现。研究表明，当网络足够大时，ResNet可实现近似无误差的解决方案，并分析了梯度下降算法在深度神经网络中的应用及其收敛性。

本文提出了新的深度残差网络连续极限，推导出多层神经网络在平均场规则下的全局收敛结果，并提出了几种基于新连续模型的训练方案，其中之一在基准数据集上表现出很强的实证性能。