联合概率是指两个事件同时发生的可能性。文章定义了随机变量X和Y的联合分布函数及其性质，包括边际分布和独立性，并通过积分和微分法则计算联合概率密度函数和边际概率密度函数。
联合概率描述两个事件同时发生的可能性。定义随机变量X和Y的联合分布函数F_{XY}(x, y)，并探讨其性质、边际分布及独立性。通过积分和微分法则，推导边际概率密度函数和联合概率质量函数。
本文研究了如何估计随机变量X和Y的联合概率，推导出极大似然推断的函数形式，并提出了计算逼近方法。通过Γ-收敛证明，随着观测数量N的增加，可以从经验逼近中恢复真实概率密度。利用熵最优输运核建模假设空间，修改EMML算法解决离散最小化问题，并证明算法的收敛性。示例验证了方法的有效性。
本文研究了给定N个独立观测块的随机变量X和Y的联合概率的估计问题。通过极大似然推断的函数形式和可计算的逼近方法，我们能够从经验逼近中恢复真实的概率密度。通过熵最优输运核，我们建模了一类假设空间，可以近似推断数据中的转移算子。通过修改EMML算法以考虑额外的转移概率约束，解决了离散最小化问题，并证明了算法的收敛性。概念验证示例展示了方法的潜力。
联合概率是多个条件同时成立的概率，记作P(X=a,Y=b)；条件概率是在已知某事件发生后，另一个事件发生的概率，记作P(A|B)。两者的区别在于，联合概率的样本空间不变，而条件概率的样本空间缩小。贝叶斯定理用于在有限信息下预测概率，是机器学习的核心方法之一。
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