本文探讨了基于物理约束的深度学习模型在非线性偏微分方程求解中的应用，提出了卷积神经网络和LSTM网络等方法，显著提高了数值求解的精度和效率。同时，研究综述了深度学习在偏微分方程降阶模型中的影响，并展示了新技术在复杂问题中的有效性。

深度学习在设计偏微分方程的降阶模型中发挥了重要作用，尤其是在处理复杂和随机问题时。研究提出了一种基于神经网络的新方法，显著提高了对流主导现象的建模效率，并通过数据驱动的框架优化了分布式动力系统的简化模型。该框架在多个流体动力学问题上实现了高达100,000倍的加速和低于7%的相对误差，展示了深度学习在科学计算中的潜力。

本文提出了一种结合动态模分解（DMD）与多分辨率分析的新方法，有效解决复杂系统的动力学数据分离问题。研究扩展了DMD的应用，提出了线性一致性概念，并通过实验验证了新采样策略的有效性。DMD在电浆动力学和脑神经元信号分析中表现出良好性能，提供了高效的降阶模型和预测工具。

我们提出了一种基于有限维控制的方法来近似解决高维演化型偏微分方程的解算符。通过使用深度神经网络等降阶模型，我们将模型参数的演化与函数空间中的轨迹连接起来。利用神经常微分方程的计算技术，我们学习参数空间上的控制，使受控轨迹与PDE的解非常接近。我们验证了对于二阶非线性PDE的近似精确度，并展示了在解决Hamilton-Jacobi-Bellman方程等高维PDE的真实应用中，所提方法的准确性和效率。

该论文研究了金属增材制造过程中在线预测未打印零件的热场的方法。通过映射和重建，利用人工神经网络估计未打印层上点的温度曲线，并通过降阶模型构建整个层的温度场。经过实验验证，该方法在低成本台式机上能够快速构建未打印层的热场，并具有良好的泛化能力。

该文章介绍了深度学习在设计偏微分方程的降阶模型方面的应用，特别是在处理复杂问题和随机领域参数化的随机问题中。深度自动编码器作为一种灵活工具提供了降低问题维数的手段。该研究通过理论分析为深度学习基于 ROMs 在随机领域参数化问题中的应用提供了一些实用的指导方法，并通过数值实验证明了理论分析对于 DL-ROMs 性能的重大影响。