本文研究了拓扑数据分析中的孔持久性问题，证明其为$ ext{BQP}_1$-困难且包含在$ ext{BQP}$中，显示出存在指数级的量子加速。作者提出通过构建孔的谐波代表来编码持久性。

几何量子机器学习（GQML）通过嵌入问题的对称性来学习高效的解决协议。研究者通过学习布尔函数属性的Simon问题，发现了一个关于某个数据集的BQP^A≠BPP协议的例子。他们还发现了嵌入布尔函数的等变特征映射和具有取样优势的测量方法。研究者将实例可视化为有向计算超图，并讨论了学习其他BQP^A类型协议的前景。