随机过程
内容提要
本文讨论了非平衡态系统中的集体过程，重点介绍了朗之万方程的推广及其在随机过程中的应用。内容涵盖随机过程的基本概念、马尔可夫过程的特性，以及通过随机微分方程描述系统演化的方法。还提到伊藤积分和Fokker-Planck方程等数学工具，用于分析概率分布的演变。
延伸解读
小系统为何需要随机描述
文章指出，非平衡态系统如流行病或基因转录，涉及的个体数量往往很小，例如一天新增感染数可能只有10左右，基因转录本通常只有几千。在这种小规模下，单个事件就能造成巨大相对变化，因此涨落非常强烈，不能仅用平均值的确定性演化来描述。这解释了为什么必须引入随机过程来刻画这些系统。
朗之万方程与两种噪声
朗之万方程将随机变量的演化分为确定性部分和随机部分。随机部分的强度若为常数，称为加性噪声；若依赖于系统状态，则称为乘性噪声。文章以流行病为例：当感染人数为零时，病毒灭绝且不再有噪声，这是典型的吸收态，也是乘性噪声的重要例子。这种分类有助于理解不同随机系统的行为。
随机积分与伊藤公式的复杂性
随机积分的结果依赖于函数在区间上的取值点，左端点对应伊藤积分，中点对应斯特拉托诺维奇积分，两者结果不同。因此使用随机微分方程时必须明确所选约定。此外，随机链式法则（伊藤公式）比普通微积分多出二阶项，因为维纳过程的增量尺度为根号dt，这体现了随机 calculus 的特殊性。
主方程与福克-普朗克方程
主方程描述概率分布的时间演化，平衡流入和流出某状态的速率。它通常难以解析求解，但可通过Gillespie算法进行数值模拟。通过假设状态跳跃很小，对主方程做泰勒展开并截断至二阶，可得到福克-普朗克方程，其中漂移项决定概率分布的整体移动，扩散项则使分布展宽。这一近似适用于系统很大、变化连续的情形。
Q&A
什么是随机过程？
随机过程是随机变量的集合，通常用于描述系统的演化和变化。
马尔可夫过程有什么特性？
马尔可夫过程具有无记忆性，当前状态的概率仅依赖于前一个状态。
朗之万方程在随机过程中的作用是什么？
朗之万方程用于描述随机过程的演化，包含确定性部分和随机部分。
Fokker-Planck方程的主要功能是什么？
Fokker-Planck方程描述概率分布的时间演化，包含漂移项和扩散项。
伊藤积分在随机过程中的重要性是什么？
伊藤积分是分析随机过程中的概率分布演变的重要数学工具。
非平衡态系统中的集体过程有什么特点？
非平衡态系统通常涉及小规模的随机过程，强烈的波动性对系统演化有重要影响。
