2026年高联二试（A卷）几何题的解答
内容提要
2026年全国高中数学联赛二试A卷几何题：在锐角三角形ABC中，AD为高，H为垂心，O为外心，N为HO中点，P在BD上满足∠PND=2∠PAD。证明BC与△AOP外接圆相切。解答利用Humpty点性质，作O关于BC的对称点Z，证得APZQ为调和四边形，进而推出∠OAP=∠OPQ，从而BC与△AOP外接圆相切。
延伸解读
Humpty点：从辅助工具到解题枢纽
文章开篇指出，本题虽不直接涉及Humpty点，但利用其性质可快速找到思路。Humpty点常用于处理三角形中的对称与调和关系，例如性质“ABZC为调和四边形当且仅当Z与X关于BC对称”。解答中作O关于BC的对称点Z，正是借助该性质将问题转化为证明APZQ为调和四边形，从而连接已知条件与待证结论。
中点与共圆：条件转化的关键步骤
题目条件∠PND=2∠PAD看似复杂，但通过取AP中点E，利用直角三角形斜边中线性质得EA=ED=EP，进而推出∠PED=2∠PAD，与已知条件结合得到E、P、D、N四点共圆。这一转化将角度关系转化为共圆关系，为后续利用圆幂、切线等性质奠定基础，体现了中点在高联几何题中的常见作用。
调和四边形与等角共轭：证明的核心链条
解答通过构造辅助点Q，证明APZQ为调和四边形，并利用N为AZ中点得到N与O关于△APQ等角共轭。由此推出∠OAP=∠OPQ，即BC与△AOP外接圆相切。整个证明链条清晰：共圆→调和→等角共轭→相切，每一步都依赖前一步的结论，逻辑严密，展示了高联几何题中综合运用多个经典结论的特点。
Q&A
2026年高联二试A卷几何题的题目内容是什么？
在锐角三角形ABC中，AB<AC，AD是BC边上的高，H为垂心，O为外心，N为HO的中点，线段BD内一点P满足∠PND=2∠PAD。证明：直线BC与三角形AOP的外接圆相切。
这道几何题用到了Humpty点的什么性质？
用到了Humpty点的一个常用性质：设点X为三角形ABC的A-Humpty点，则ABZC为调和四边形当且仅当Z和X关于BC对称。本题中作O关于BC的对称点Z，则APZQ为调和四边形。
解答中是如何处理条件∠PND=2∠PAD的？
取AP的中点E，由EA=ED=EP可知∠PED=2∠PAD，从而∠PED=∠PND，因此E、P、D、N四点共圆。
证明中如何说明N是AZ的中点？
作O关于BC的对称点Z，则OZ=AH且OZ∥AH，所以四边形AHZO是平行四边形，又N是HO的中点，因此N也是AZ的中点。
最终是如何推出BC与三角形AOP外接圆相切的？
通过证明APZQ为调和四边形，得到∠OPQ=∠APN，∠OQP=∠AQN，进而推出N和O关于三角形APQ等角共轭，所以∠OAP=∠OPQ，即直线BC与三角形AOP的外接圆相切。
解答中辅助线Q是如何引入的？
设三角形APZ的外接圆与直线BC交于另一点Q，然后分别取AP中点E、AQ中点F，利用相似和共圆关系进行证明。
