2026年CWMI的几何题的解答（二）
内容提要
本文解答2026年西部数学邀请赛几何题：锐角三角形ABC中，垂心H，高BD、CE，点P在△BHC外接圆上，BP交AC于Q，CP交AB于R，证明DE平分QR。通过引入Humpty点X，利用共圆和相似三角形性质，最终证得结论。
延伸解读
Humpty点：解题的关键辅助点
本文通过引入Humpty点X，将复杂的几何关系转化为一系列共圆和相似三角形。Humpty点定义为中线AM与△BHC外接圆的交点，具有多个优美性质，如X在AH上的投影、与A、E、H、D共圆等。这些性质为后续的倒角证明提供了基础，展示了辅助点在几何问题中的重要作用。
证明思路：从共圆到相似
解答的核心在于证明A、R、X、P、Q五点共圆，进而得到△XQR与△XBC相似。通过角度相等关系，逐步推导出X是某个完全四边形的密克点，最终利用中点性质证明DE平分QR。整个证明逻辑清晰，体现了从共圆到相似再到中点结论的典型几何解题路径。
竞赛几何题的典型特征
本题作为西部数学邀请赛的几何题，具有竞赛几何的典型特征：条件简洁但结论深刻，需要构造辅助点并利用多个几何定理。解题过程涉及垂心、外接圆、共圆、相似等核心概念，对参赛者的几何直觉和推理能力有较高要求。
Q&A
2026年西部数学邀请赛的几何题中，需要证明的结论是什么？
在锐角三角形ABC中，垂心为H，BD和CE是高，点P在三角形BHC的外接圆上，直线BP与AC交于Q，直线CP与AB交于R，需要证明DE平分线段QR。
什么是Humpty点？在本题中如何定义？
Humpty点（或HM点）是三角形中一个特殊点。在本题中，作三角形ABC的中线AM，交三角形BHC的外接圆于另一点X，则X即为Humpty点。它满足∠XAB=∠XBC，∠XAC=∠XCB，且X是垂心H在中线AM上的投影。
在解答中，如何证明点X是Humpty点？
通过作点A关于M的对称点A'，则A'也在外接圆Γ上。利用MB²=MC²=MB·MC=MA'·MX=MA·MX，得到三角形MBX相似于三角形MAB，三角形MCX相似于三角形MAC，从而推出∠XAB=∠XBC和∠XAC=∠XCB。
在解答中，如何证明A、R、X、P、Q五点共圆？
首先由∠RPQ=∠BPC=∠BHC=180°-∠BAC，得到A、R、P、Q共圆；再由∠RPX=∠XBC=∠RAX，得到A、R、X、P共圆。因此A、R、X、P、Q五点共圆。
在解答中，如何证明三角形XQR相似于三角形XBC？
由A、R、X、P、Q五点共圆，可得∠XRQ=∠XAQ=∠XCB，∠XQR=∠XAR=∠XBC，因此三角形XQR相似于三角形XBC。
在解答中，如何证明N是QR的中点？
利用X是完全四边形ARENQD的密克点，得到R、E、X、N共圆，从而∠XNQ=∠XER=∠XMB，推出三角形XQN相似于三角形XBM。由于M是BC的中点，对应边成比例，可得N是QR的中点。
