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$SO(3)$ 的投影表示
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原文英文，约1200词，阅读约需5分钟。
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内容提要
本文介绍了 $SO(3)$ 的投影表示，即通过 $SU(2)$ 的共轭变换得到的表示。我们证明了任何紧致李群的同态都可以通过共轭变换变为其像在特殊酉群中的同态。接着，我们讨论了如何确定一个酉表示是否可以被推广为 $SO(3)$ 的投影表示，发现只需要考虑元素 $-I$ 的作用。
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关键要点
- 本文介绍了 $SO(3)$ 的投影表示，强调其在物理学中的重要性。
- 每个不可约的单位表示 $SU(2)$ 形式为 $V_n$，并且 $SO(3)$ 作为 $ ext{R}^3$ 中的对称群。
- 表示理论在物理学中有广泛应用，尤其是在描述粒子间的相互作用时。
- 讨论了如何将项目表示简化为特殊线性群的同态。
- 引入了两个引理，证明了同态可以通过共轭变换简化为特殊酉群的同态。
- 通过考虑 $SU(n)$ 的普遍覆盖，简化了对 $SO(3)$ 的研究。
- 探讨了如何找到可以推广为 $SO(3)$ 的项目表示的单位表示。
- 确定是否可以将 $ ilde ext{varphi}:SU(2) o SU(n)$ 推广为 $ ext{varphi}:SO(3) o SU(n)/C_n$ 的关键在于考虑元素 $-I$ 的作用。
- 如果 $ ilde ext{varphi}(-I)= ext{id}$，则所有 $n$ 必须为偶数；如果 $ ilde ext{varphi}(-I)=- ext{id}$，则所有 $n$ 必须为奇数。
- 定理 1：$SO(3)$ 的项目表示由 $SU(2)$ 的共轭形式给出，取决于 $(-I)$ 的作用方式。
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