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Wasserstein 空间上的逼近理论、计算与深度学习
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原文中文，约400字，阅读约需1分钟。
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内容提要
本研究使用三种基于机器学习的方法，解决了在概率空间上定义的 Sobolev 平滑函数的数值逼近问题。研究提供了明确且定量的界限，并利用适当设计的神经网络作为基函数，提高了评估速度。
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关键要点
- 本研究探讨了在概率空间上定义的 Sobolev 平滑函数的数值逼近问题。
- 采用三种基于机器学习的方法解决该问题。
- 通过求解有限个最优传输问题和计算相应的 Wasserstein 潜势来进行研究。
- 使用 Wasserstein Sobolev 空间中的经验风险最小化和 Tikhonov 正则化。
- 通过表征 Tikhonov 泛函的 Euler-Lagrange 方程的弱形式来解决问题。
- 对每种解决方法的泛化误差提供了明确且定量的界限。
- 在数值实现中，利用适当设计的神经网络作为基函数。
- 经过多种方法的训练后，能够快速评估逼近函数。
- 构造性解决方案在相同准确性下显著提高了评估速度，超过了现有方法数个数量级。
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