本文探讨了人工神经网络在高维偏微分方程（PDE）数值逼近中的应用，特别是如何克服维度灾难。研究表明，深度神经网络（DNN）能够有效逼近Kolmogorov PDE及其他高维PDE，并在精度与计算效率之间取得良好平衡。通过结合模型缩减与深度学习，提出了新的近似方法，并验证了其在实际应用中的有效性。

本研究探讨了受限参数神经网络的数值逼近能力，指出尽管理论上可以实现普遍逼近，但实际中受限的非线性参数会限制其能力。引入了定量化逼近能力限制的新概念，并分析了反向传播神经网络与随机参数网络之间的关系。

该研究论文提出了一种基于Wasserstein梯度流的扩散过程新近似推理方法，适用于机器学习中的非线性滤波。研究探讨了变分推断与Wasserstein梯度流的关系，提出了新的梯度估计方法，并实现了对凸函数空间的有效数值模拟。此外，论文还研究了随机微分方程的数值逼近及基于梯度流的采样方法，提供了理论保证和收敛性分析。

本文探讨了多种核函数选择和构造方法，包括数值逼近、数据驱动的核选择和改进的聚类算法。这些方法在机器学习模型训练中有效提高了准确性，降低了计算复杂度，并在分子设计等领域取得了显著成果。

该研究采用三种基于机器学习的方法解决 Sobolev 平滑函数的数值逼近问题，提供了每种方法的泛化误差界限，并利用神经网络进行数值实现，显著提高了评估速度。

本研究使用三种基于机器学习的方法，解决了在概率空间上定义的 Sobolev 平滑函数的数值逼近问题。研究提供了明确且定量的界限，并利用适当设计的神经网络作为基函数，提高了评估速度。