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多层Picard近似与带有ReLU、泄漏ReLU和软正则激活函数的深度神经网络克服维度诅咒，在$L^p$意义上逼近半线性抛物型偏微分方程
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原文中文，约1400字，阅读约需4分钟。
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内容提要
本文探讨了人工神经网络在高维偏微分方程（PDE）数值逼近中的应用，特别是如何克服维度灾难。研究表明，深度神经网络（DNN）能够有效逼近Kolmogorov PDE及其他高维PDE，并在精度与计算效率之间取得良好平衡。通过结合模型缩减与深度学习，提出了新的近似方法，并验证了其在实际应用中的有效性。
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关键要点
- 人工神经网络可以有效逼近Black-Scholes PDEs，并克服维度灾难。
- 深度人工神经网络在Kolmogorov PDEs数值逼近中表现出良好的性能，参数数量与维数和逼近精度的关系为多项式增长。
- 通过ReLU神经网络构建的模型分析了Sobolev正则函数的逼近速率，并建立了逼近下界。
- 研究利用解空间的低维特性，提出了更优的ReLU神经网络逼近偏微分方程解的上界。
- 发展了一种结合神经网络和模型缩减的无限维空间近似方法，证明了其收敛性并展示了有效性。
- 提出了一种基于张量列的近似方法，能够在精确性和计算效率之间取得良好平衡。
- 结合多层求解器和深度学习方法的新方法被提出，用于解决高维参数的偏微分方程数值解问题。
- 基于有限维控制的方法被提出，用于近似高维演化型偏微分方程的解算符，验证了其准确性和效率。
- 使用深度学习方法中的DNN和不同激活函数，可以在无维数空间中逼近具有Lipschitz连续非线性的半线性热方程的解。
- 解决了浅层ReLU神经网络在Sobolev空间中的高效近似问题，提供了最佳近似率的证明。
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延伸问答
深度神经网络如何克服维度灾难？
深度神经网络通过有效逼近高维偏微分方程，特别是Kolmogorov PDE，展现出参数数量与维数和逼近精度之间的多项式增长关系，从而克服维度灾难。
本文提出了哪些新方法来逼近偏微分方程？
本文提出了结合神经网络和模型缩减的无限维空间近似方法，以及基于张量列的近似方法，旨在提高精确性和计算效率。
ReLU激活函数在偏微分方程逼近中的作用是什么？
ReLU激活函数用于构建神经网络，分析Sobolev正则函数的逼近速率，并建立了逼近下界，提升了偏微分方程解的逼近能力。
如何验证所提出方法的有效性？
通过数值实验与现有算法的比较，验证了所提出的结合神经网络和模型缩减的方法的有效性。
高维偏微分方程的解算符如何近似？
通过基于有限维控制的方法，结合深度神经网络，近似高维演化型偏微分方程的解算符，确保解的准确性和效率。
本文的研究对实际应用有什么影响？
研究表明，深度神经网络在高维偏微分方程的数值解中具有良好的性能，能够在精度与计算效率之间取得平衡，推动了相关领域的应用。
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