基于数据驱动的非线性模型约简：Koopman 理论、综合控制形式与 NMPC 案例研究
内容提要
该文综述基于Koopman算子的数据驱动非线性系统建模与控制研究：利用深度学习和图神经网络学习Koopman算子及特征函数，构建低阶线性模型用于模型预测控制，显著降低空分装置计算时间；提出端到端强化学习训练动态代理模型以平衡控制性能与计算需求，并用于电网实时电压控制；还探索控制特征值收敛速率及降阶方法。
延伸解读
Koopman方法的核心优势：线性化与降阶
文章指出，Koopman算子能将非线性系统嵌入到线性框架中，从而利用线性控制方法设计控制器。同时，通过数据驱动降阶，可以构建低阶线性模型用于模型预测控制。在空分装置案例中，平均CPU时间降低了98%，说明该方法在保证控制性能的同时显著提升了计算效率，为实时应用提供了可能。
端到端强化学习平衡控制性能与计算需求
针对经济非线性模型预测控制，文章提出端到端强化学习训练动态代理模型，以在控制性能和计算需求之间取得平衡。在连续搅拌反应器案例中，该方法与无模型神经网络控制器性能相当，且始终优于基于系统辨识的模型。此外，MPC策略在控制设定变化时无需重新训练，显示出良好的适应性。
电网实时电压控制的应用验证
文章将Koopman方法应用于电网实时模型预测紧急电压控制，通过“基字典自由”的数据驱动升维、深度神经网络编码器-解码器架构以及端到端学习三个连续变换，在IEEE 39总线系统上验证了方法的有效性和鲁棒性。这表明Koopman方法在复杂网络系统中具有实际应用潜力。
控制特征值收敛速率与降阶方法探索
文章还探索了控制Koopman算子特征值收敛速率的方法，利用策略网络训练特征值接近目标值，并采用强化学习端到端训练，性能优于无模型强化学习和基于模型的控制。同时，基于数据驱动的降阶方法强调了验证特征函数的重要性，为非线性系统控制提供了新思路。
Q&A
Koopman理论在数据驱动非线性模型约简中主要起什么作用？
Koopman理论用于将非线性系统提升到高维线性空间，从而用线性模型近似非线性动力学。文章利用深度学习或图神经网络学习Koopman算子和特征函数，构建低阶线性模型，用于模型预测控制等任务。
如何利用Koopman方法降低空分装置模型预测控制的计算时间？
文章采用基于Koopman理论的数据驱动缩减策略生成低阶控制模型，并基于该模型实现实时非线性模型预测控制，使空分装置（Air Separation Unit）的平均CPU时间降低了98%。
在NMPC中，如何平衡控制性能与计算需求？
文章提出一种端到端的强化学习方法训练动态代理模型，用于经济非线性模型预测控制（(e) NMPC），从而在控制性能和计算需求之间取得良好平衡。该方法在连续搅拌反应器模型上验证，性能与无模型神经网络控制器相当，且优于基于系统辨识的模型。
Koopman方法如何用于电网实时电压控制？
文章介绍了一种数据学习的线性Koopman嵌入非线性网络动态的方法，包括“基字典自由”的数据驱动升维方式、基于Koopman的深度神经网络编码器-解码器架构，以及使用真实轨迹数据一次性学习三个连续变换的端到端成分。该方法在IEEE 39总线系统上验证了实时模型预测紧急电压控制的效力和鲁棒性。
如何控制Koopman算子的特征值收敛速率？
文章提出一种基于Koopman算符理论的数据驱动方法，利用策略网络（由神经网络和极点配置模块组成）训练Koopman算符的特征值接近目标特征值，并使用增强学习以端到端方式训练。结果表明该方法在控制频率和收敛速率方面优于无模型强化学习和基于模型的控制。
图神经网络在Koopman算子学习中有何应用？
文章提出使用图神经网络对对象进行编码，并使用分块的线性转移矩阵规范化对象之间的共享结构，从而学习组合型Koopman操作符，以实现非定常系统的建模与控制。实验表明该方法比现有基线具有更好的效率和泛化能力。
