游戏中的数学 (8) - 渲染管线中的数学
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原文中文，约1700字，阅读约需4分钟。
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内容提要
3D游戏在2D屏幕上的显示依赖于渲染管线，通过坐标变换实现。主要步骤包括局部空间、世界空间、观察空间、裁剪空间和屏幕空间。MVP矩阵将顶点从局部空间转换到裁剪空间，齐次坐标中的w分量实现透视效果，理解这一流程对编写Shader至关重要。
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关键要点
- 3D游戏在2D屏幕上的显示依赖于渲染管线，通过坐标变换实现。
- 渲染管线的核心公式为 P_{screen} = Viewport × Projection × View × Model × P_{local}。
- 局部空间是模型原本的坐标系，顶点相对于原点定义。
- 世界空间通过变换矩阵将物体放入游戏世界中，包括平移、旋转和缩放。
- 观察空间以摄像机为原点，移动摄像机等同于反向移动整个世界。
- 裁剪空间定义了摄像机能看到的范围，坐标为齐次坐标。
- 透视除法将裁剪空间的坐标除以w，得到标准化设备坐标(NDC)。
- 物体的远近影响其在屏幕上的大小，w值越大，物体在屏幕上越小。
- 屏幕空间将NDC坐标映射到屏幕像素坐标。
- MVP矩阵是将顶点从局部空间转换到裁剪空间的组合矩阵，w分量实现透视效果。
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延伸问答
渲染管线的核心公式是什么？
渲染管线的核心公式为 P_{screen} = Viewport × Projection × View × Model × P_{local}。
局部空间和世界空间有什么区别？
局部空间是模型原本的坐标系，而世界空间通过变换矩阵将物体放入游戏世界中，包括平移、旋转和缩放。
透视除法在渲染管线中起什么作用？
透视除法将裁剪空间的坐标除以w，得到标准化设备坐标(NDC)，从而实现透视效果。
如何将NDC坐标映射到屏幕像素坐标？
NDC坐标通过公式 x_{screen} = (x_{ndc} + 1) × 0.5 × width 和 y_{screen} = (y_{ndc} + 1) × 0.5 × height 映射到屏幕像素坐标。
MVP矩阵在渲染管线中有什么重要性？
MVP矩阵是将顶点从局部空间转换到裁剪空间的组合矩阵，理解这一流程对编写Shader至关重要。
为什么远处的物体在屏幕上看起来更小？
远处物体的w值更大，透视除法后得到的x和y值更小，因此在屏幕上看起来更小。
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