本研究解决了在处理大规模多尺度问题时，量化偏微分方程（PDE）中的知识性和偶然性不确定性面临的挑战。我们提出了一种新颖的\$PINN方法，通过结合局部贝叶斯物理知识神经网络（BPINN）和域分解框架，能够更高效地计算PDE的全局不确定性。研究结果表明，通过并行计算每个子域的局部不确定性，\$PINN显著提高了全局不确定性的恢复效率。

本研究提出了一种利用物理信息神经网络（PINNs）优化最低能量路径（MEP）的方法，以解决物理系统中构象转变的建模问题。该方法通过隐式神经函数和自动微分技术，能够高效发现物理合理的转变路径，增强了对重要生物过程的研究潜力。

本文提出了一种耦合积分PINN方法，旨在解决非线性守恒律中物理信息缺失的问题。该方法通过额外的神经网络拟合方程的积分解，增强了传统PINN在建模冲击波方面的能力，尤其在处理复杂冲击问题时表现优越。

本研究提出了一种新颖的采样方法，旨在解决传统CFD求解器在湍流模拟中的高计算成本和准确性问题，验证了基于RANS-PINN框架的有效性。

本文提出了一种分布式物理信息神经网络（DPINN），用于解决非线性偏微分方程及Navier-Stokes方程。研究表明，DPINN在固体力学和弹性动力学建模中表现出色，尤其在缺乏标注数据时。通过结合机器学习和物理原理，成功预测了3D金属添加制造中的温度变化。此外，研究探讨了激活函数对PINN模型预测性能的影响，强调了选择激活函数的重要性。

该论文探讨了物理启发型神经网络（PINNs）的理论与实践，展示其在解决偏微分方程（PDE）中的有效性。研究提出了有限基PINNs（FBPINNs）和密集乘积PINN（DM-PINN）等新方法，并通过数值实验验证了其在复杂问题处理中的优越性能。同时，文章讨论了PINNs的局限性及其在不同方程中的应用，强调了改进特征映射的重要性。

本文探讨了长短时记忆神经网络（LSTM）在光纤通信中补偿非线性干扰的应用，验证了其在16QAM调制下的优越性能。同时，研究了物理推理神经网络（PINN）和混合密度网络模型在光子学中的应用，提出了新型短距离光纤传输模型，显著提高了计算效率和保真性。

本文探讨了长短时记忆神经网络（LSTM）和物理推理神经网络（PINNs）在光纤通信中的应用，特别是在解决非线性问题方面。研究表明，LSTM在光接收机后处理中的表现优于传统方法，而PINNs有效降低了计算复杂性并提高了模型准确性。这些方法在处理复杂光纤传输和非线性方程时展现出显著优势。

使用物理约束的神经网络和贝叶斯后验均值估计的方法在物理和机器学习领域得到了广泛的应用，本研究探讨了这些方法在解决偏微分方程及其反问题时的性能和收敛性。

本文介绍了一种基于自我训练的物理学受控神经网络（ST-PINN）方法，通过高置信度样本点训练，提升了神经网络学习物理信息的效果和收敛性。实验结果显示，该方法在多个场景下优于现有技术，精度提升1.33倍至2.54倍。同时，探讨了其他神经网络结构和方法在求解偏微分方程中的应用。

本文介绍了一种新型框架OL-PINN，将DeepONet与PINN结合，成功解决非线性扩散反应方程等问题，提升了准确性和鲁棒性。同时，研究探讨了PINNs在求解障碍相关偏微分方程中的应用，并提出了分布式PINN（DPINN）以增强表达能力。

本文探讨了物理知识驱动神经网络（PINNs）中优化器选择对模型精度的影响，提出通过跟踪训练轨迹的曲率来解释优化效果的差异。研究表明，较大的本地曲率值有助于提高解决方案质量，并总结了改进PINNs训练效率的最佳实践。此外，文章还评述了PINNs在解决偏微分方程中的应用及其面临的理论挑战。

本文介绍了多种基于神经网络的偏微分方程（PDE）求解方法，如hp-VPINN、SPINN、PPINN和FBPINNs。这些方法通过优化网络参数、域分解和高阶多项式空间投影，提高了计算效率和精度。同时，研究探讨了物理启发式神经网络（PINN）的优缺点及其在复杂问题中的应用，强调了转移学习在增强鲁棒性和收敛性方面的潜力。

本文探讨了多种基于物理信息神经网络（PINNs）的技术进展，包括GLT技术、SPINN架构、DCPINN-TO拓扑优化方法和SA-PINNs自适应训练方法。这些方法在解决偏微分方程时显著提高了计算效率和准确性，展示了机器学习与物理问题结合的潜力。

该文综述物理信息神经网络（PINNs）的多项进展：利用神经切向核分析训练动态，提出径向基函数替代傅里叶特征映射；结合图嵌入、几何变换与Gabor基函数提升多尺度及复杂几何问题求解效率；并探讨其与高斯过程的等价性及在FPGA部署的可行性。

该文综述深度神经网络求解偏微分方程的研究进展，涵盖物理约束精确控制、可微分优化、神经算子、PINN等方法，证明其可克服维数灾难，参数呈多项式增长，计算速度较传统方法提升千倍，适用于高维随机偏微分方程及复杂几何问题。

本文综述物理信息神经算子求解偏微分方程的进展：将PDE转化为边界积分方程，无需标记数据即可求解参数化边值及无界问题；DeepONet、PI-DeepONet、傅里叶神经算子等实现长时间模拟与数量级加速；OL-PINN结合DeepONet与PINN处理尖锐解；图核网络、降阶模型及神经ODE方法可泛化于高维演化型PDE与优化问题。

该文综述神经切向核（NTK）在物理约束神经网络中的研究：NTK可描述无限宽网络梯度下降动态，揭示高斯激活优势，并用于自适应校准损失收敛率、缓解谱偏差，提升PINN求解偏微分方程的多尺度能力。

本文综述了物理信息神经网络（PINN）求解偏微分方程的多项进展：提出鲁棒版RPINN，采用能量范数残差构建损失函数；PINO结合数据与物理约束学习参数化PDE解算器；B-PINN实现不确定性量化；BsPINN利用二进制结构提升精度；OL-PINN结合DeepONet处理尖锐解问题。

该文综述了基于神经网络的偏微分方程求解与波场重建研究，涵盖U-Net、FNO、PINN等方法，应用于雷达波浪重建、声场模拟、全波形反演及高维随机PDE求解，并介绍开源在线训练框架与Julia分布式API，显著提升精度与效率。