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深度 Ritz 自适应重要采样
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原文中文，约500字，阅读约需2分钟。
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内容提要
该文介绍了两种基于随机神经网络解决高维偏微分方程的方法，避免了维度增加带来的指数级增长。这些方法在多个高维PDE上进行了数值模拟，成本效益高且准确度更高。
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关键要点
- 提出了两种基于随机神经网络的方法解决高维偏微分方程 (PDE)。
- 这两种方法将极限学习机 (ELM) 从低维扩展到高维，利用网络的普适逼近性质。
- 第一种方法使用随机前向神经网络表示未知解域，隐藏层参数随机分配并固定，输出层参数进行训练。
- 通过最小二乘法解决线性或非线性代数系统，得到网络参数的训练值。
- 第二种方法通过被约束表达式重新描述高维 PDE 问题，避免了维度增加导致的 TFC 项数量的指数级增长。
- 自由域函数由随机神经网络表示，并通过类似于第一种方法的过程进行训练。
- 进行了大量数值模拟，展示了这些方法在多个高维线性/非线性静态/动态 PDE 上的性能。
- 与基于物理知识的神经网络 (PINN) 方法相比，当前方法在高维 PDEs 上具有更高的成本效益和准确性。
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