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利用 Transformer 作为具有有限规律性的微分方程求解的神经算子
内容提要
本文探讨了基于Transformer的神经网络在物理系统动力学中的应用，提出了一种新的神经算子，能够高效求解偏微分方程（PDE），并在多个测试中展现出高准确率和速度。研究还改进了DeepONet模型，强调物理一致性对预测准确性的提升，以及在不规则网格上进行解的预测能力。
关键要点
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使用 Transformer 神经网络结构学习物理系统的动力学，结合卷积自编码器学习空间模式。
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提出了一种新的神经算子，通过在傅里叶空间中参数化积分核，实现对偏微分方程的高效求解。
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在 Burgers' equation、Darcy 流和 Navier-Stokes 方程等测试中展现了高准确率和速度。
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GraphDeepONet 模型能够适应 DeepONet，有效学习操作符，并在不规则网格上进行解的预测。
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使用可学习的线性层替代变换层，性能与最佳基于变换的层相媲美，且计算时间更短。
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基于 Transformer 的序列到序列模型能够从不规则采样和嘈杂数据中恢复常微分方程的符号形式。
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提出的物理学知识不同 DeepONets 模型通过施加软惩罚约束，提高了预测准确性，减少了训练数据需求。
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研究残差网络与欧拉离散化的关系，提出新的 ODE Transformer 架构，提升了多种任务的性能。
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通过可微分同胚神经运算符学习框架，实现神经运算符在不同领域中的强大学习能力和鲁棒性。
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提出用于无配对输入输出观测的深度神经网络学习框架，实现对参数 ODE/PDE 系统的精确长时间模拟。
延伸问答
Transformer神经网络在物理系统动力学中的应用是什么？
Transformer神经网络用于学习物理系统的动力学，并结合卷积自编码器学习空间模式。
新提出的神经算子如何提高偏微分方程的求解效率？
新神经算子通过在傅里叶空间中参数化积分核，实现对偏微分方程的高效求解，速度比传统方法快三个数量级。
GraphDeepONet模型的优势是什么？
GraphDeepONet能够适应DeepONet，有效学习操作符，并在不规则网格上进行解的预测和时间外推。
如何通过物理学知识提高DeepONets的预测准确性？
通过施加软惩罚约束，确保物理一致性，从而显著提高DeepONets的预测准确性，减少训练数据需求。
使用可学习的线性层替代变换层有什么好处？
使用可学习的线性层可以在性能上与最佳的基于变换的层相媲美，并且计算时间更短。
如何实现对参数ODE/PDE系统的精确长时间模拟？
通过无配对输入输出观测的深度神经网络学习框架，可以实现对参数ODE/PDE系统的精确长时间模拟。
