2026 年 IMO 的几何题的解答
内容提要
2026年IMO几何题解答：通过构造辅助点X、Y，利用角度条件证明四点共圆，再以重心坐标法证明K、L等点共圆，最终利用根轴性质证明OM=ON。文章还提及多个大模型未能解出此题。
延伸解读
解题关键：构造辅助点与共圆
文章指出，本题的关键在于延长BK和CL，分别与AC、AB相交得到点Y和X，从而将三个角度条件转化为三组共圆关系。这一构造是后续证明的基础，也是大模型未能突破的难点。对于读者而言，理解这一构造的动机（将角度条件转化为圆幂关系）比记忆具体步骤更重要。
重心坐标法的应用与局限
作者在尝试纯几何方法受阻后，转而使用重心坐标系进行解析计算。文中给出了圆的一般方程，并通过计算根轴来证明共圆。这种方法虽然有效，但计算量较大。作者也提到，在证明共圆后，最终结论的证明仍需借助根轴性质，体现了解析法与几何直观的结合。
大模型在几何推理中的不足
文章测试了多个大模型（如DeepSeek、GLM、Qwen），它们均未能独立完成证明。主要问题在于：未能想到构造辅助点X、Y，以及错误地假设某些相似或垂直关系。即使给出部分提示，模型仍会出现跳步或伪证。这表明当前大模型在需要创造性构造和严谨逻辑链的几何证明中仍有明显短板。
Q&A
2026年IMO几何题（P2）的题目是什么？
在三角形ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点。在三角形BMC和BNC内部分别选取点K和L，使得K在三角形ABL内部，L在三角形AKC内部。已知∠KBA=∠ACL，∠LBK=∠LNC，∠LCK=∠BMK。设O是三角形AKL的外心，证明OM=ON。
如何利用题目中的三个等角条件？
延长BK和CL分别与AC和AB相交，交点记为Y和X。由∠KBA=∠ACL可得B、C、Y、X四点共圆（Ω1）；由∠LBK=∠LNC可得B、L、N、Y四点共圆（Ω2）；由∠LCK=∠BMK可得C、K、M、X四点共圆（Ω3）。
证明OM=ON的关键步骤是什么？
关键步骤是证明三角形AKL的外接圆Γ与圆Ω4（M、N、Y、X共圆）的根轴是BC。由于MN平行BC，且两圆圆心连线垂直于根轴，所以OO'垂直于MN，从而OM=ON。
在证明中，重心坐标法是如何应用的？
以三角形ABC为参考三角形建立重心坐标系，写出圆的一般方程，通过计算圆Γ'（三角形AST的外接圆）与Ω3、Ω2的根轴，证明它们分别是直线BY和CX，从而得出K、K'、L、L'等点共圆，最终确定Γ'=Γ。
文章提到了哪些大模型未能解出此题？
DeepSeek V4、GLM 5.2、Qwen 3.7/3.8 Max 都未能给出证明，且都在第一步构造辅助点X、Y上失败，没有利用等角条件得到共圆。
除了重心坐标法，文章还提供了哪种证明共圆的方法？
文章还提供了一种纯几何方法：设Ω2与AB的另一个交点为U，Ω3与AC的另一个交点为V，证明U是AX中点，V是AY中点，然后利用圆幂定理证明A、K、K'、S、T、L、L'共圆。
