2026年CGMO的几何题的解答
内容提要
本文解答2026年中国女子数学奥林匹克几何题（P3）。题目涉及三角形、对称点、角平分线及角度关系，需证明∠PDQ与∠BAC互补。解答通过构造外角平分线、利用阿波罗尼斯圆及调和点列性质，推导出三角形相似，最终完成证明。
延伸解读
阿波罗尼斯圆与调和点列的作用
本题的关键在于利用角平分线构造阿波罗尼斯圆，并借助调和点列的性质建立比例关系。阿氏圆上任意点到两定点的距离之比为定值，而调和点列则保证了圆心与定点之间的特殊乘积关系。这些工具在平面几何中常用于处理角度与比例问题，理解它们有助于掌握一类几何题的解法。
从结论反推证明思路
证明过程中，作者先由结论推出所需相似三角形，再反向寻找可证明的相似关系。这种“执果索因”的策略在几何证明中很常见：先假设结论成立，分析其等价条件，再构造辅助图形或相似三角形，最后通过已知条件验证。读者可借鉴此方法处理其他几何问题。
对称性与角平分线的综合运用
题目中D是A关于BC的对称点，这一条件在证明中用于将线段AC转化为CD，从而建立比例关系。同时，内、外角平分线的垂直关系（∠XCY=90°）是构造圆和相似三角形的关键。对称性和角平分线是几何题中常见的隐含条件，需注意其几何意义。
Q&A
2026年CGMO几何题（P3）的题目条件是什么？
在三角形ABC中，∠BAC>90°，D是A关于BC的对称点。点P在AB的延长线上，∠ACP的平分线交AB于X。边BC上的点Q满足∠XQB+∠AXC=90°。求证：∠PDQ+∠BAC=180°。
如何构造辅助线来证明2026年CGMO几何题？
作∠ACP的外角平分线CY，与AP的延长线交于Y。利用CX⊥CY，构造以XY为直径的阿波罗尼斯圆。通过调和点列性质，得到OA·OP=OC²，进而证明三角形相似。
阿波罗尼斯圆在2026年CGMO几何题中有什么作用？
阿波罗尼斯圆用于处理角度条件。由∠XQB+∠AXC=90°可推出∠XQB=∠XYC，从而点Q在阿氏圆上。利用阿氏圆的性质（调和点列）得到OA·OP=OC²，为后续相似证明提供基础。
2026年CGMO几何题中如何利用调和点列？
由(A,P;X,Y)=-1（调和点列），可得OA·OP=(XY/2)²=OC²，其中O为XY中点。由此推出△OAC∽△OCP，得到∠OCP=∠OAC=180°-∠BAC，以及边比例关系，用于后续相似证明。
2026年CGMO几何题证明的关键步骤是什么？
关键步骤包括：构造外角平分线CY，利用阿氏圆确定Q的位置；由调和点列得到OA·OP=OC²，推出△OAC∽△OCP；再证明△PQO∽△PDC，进而得到△PQD∽△POC，最终得出∠PDQ=180°-∠BAC。
2026年CGMO几何题中如何证明∠PDQ与∠BAC互补？
通过相似三角形证明：先证△PQO∽△PDC，再得△PQD∽△POC，从而∠PDQ=∠PCO。而∠PCO=∠OAC=180°-∠BAC，因此∠PDQ+∠BAC=180°。
