公元前三世纪，欧几里得提出的辗转相除法用于求最大公因数，至今在现代公钥密码学中仍然重要。扩展欧几里得算法及其衍生技术是RSA密钥生成和模逆元计算的核心。文章详细介绍了辗转相除法、扩展欧几里得算法、中国剩余定理及Montgomery模乘，强调了这些算法在互联网安全中的应用和重要性。

本研究探讨了在超几何空间中进行选择性概念移除的有效性，提出将对齐校准方法应用于MERU模型。实验结果表明，超几何几何在概念移除方面表现优越，能够实现几乎完美的遗忘，同时保持合理的概念表现。这些发现推动了机器遗忘技术的发展，并揭示了几何属性对多模态模型中概念表示与移除的影响。

本研究提出了一种线性缩放的注意力机制——欧几里得快速注意力（EFA），通过欧几里得旋转位置编码（ERoPE）高效建模长程相关性，克服传统机器学习力场在化学相互作用中的局限性。

本研究解决了在$p$-范数下具有Hölder连续$q$阶导数的凸目标优化问题，填补了现有方法的不足。作者提出了一种非欧几里得不精确加速近端点方法，利用不精确的均匀凸正则化器。此外，研究还提供了任何通过局部oracle与函数交互的确定性算法的几乎最佳下界。这些成果为相关优化方法提供了新的思路和理论支持。

本研究针对社交网络中链接生成的机制提出了一种新颖的嵌入式图生成模型，填补了现有图表示学习方法的不足。通过将同质性和影响因素分别建模为球面空间和超球面空间，从而有效描述社交网络中周期和层级的形成。实验结果表明，该模型在社交网络生成和分类任务中显著优于现有技术，展示了其对于社交网络形成的解释能力。

本文介绍了一种新的强化学习算法，通过学习状态间距离来优化智能体的学习，实验表明其样本效率优于传统方法。同时，提出了一种优化有限深度决策树的线性规划方法，以平衡性能与可解释性。此外，研究探讨了基于RGM算法的离线策略优化，解决了不完整奖励问题，并提出了SYMPOL和DTPO算法，以提高决策树的可解释性和优化效果。

本研究通过引入欧几里得对称性的数据增强方法，提高了强化学习在连续控制任务中的数据效率和性能。结果显示，该方法在多种任务中表现优异，具有重要应用潜力。

本研究探讨了超几何空间在计算机视觉中的应用，提出了超几何卷积神经网络和超宾说外显等新方法，展示了其在图像分类和少样本学习中的优势。研究表明，双曲嵌入在处理高维数据时表现出色，尤其在优化过程中克服了数值障碍。

本文介绍了多种基于Theta*算法和图的路径规划算法，旨在提高动态环境下的路径规划效率。研究涵盖K最近邻搜索、在线路径规划和图形查询语言整合，提出了优化算法和评估标准，显著提升了性能和内存效率。

由于现代机器学习越来越频繁地遇到具有非欧几里德结构的丰富结构化数据，该论文旨在重新定义具有非欧几里德结构的现代机器学习方法，并提供整合最新进展的图形分类体系，以从这些非欧几里德数据中提取知识。

稀疏频谱训练（Sparse Spectral Training，SST）是一种先进的训练方法，通过更新网络权重的奇异向量并选择性更新奇异值，优化资源使用，同时紧密逼近全秩训练。SST...

本文探讨了有限维代数操作在揭示守恒定律中的应用，强调神经算子在复杂物理系统建模中的有效性。研究表明，结合 Hamilton 力学与神经网络可以提高学习效率，遵循物理守恒定律，并在能量守恒等问题上展现更快的训练速度和更好的泛化能力。

本文探讨了基于扩散概率模型（DDPM）的图像修复技术，提出了RePaint和RePaint+等新算法，能够有效处理图像缺失信息并提高修复质量。研究推动了对人脑多尺度结构的理解，并在图像生成和修复中实现了更高的语义连贯性和控制性。

欧洲空间局的欧几里得暗物质探测器发现视力下降问题是由冰层导致的。科学团队制定了除冰计划，成功提高了观测能力。这是第二次除冰行动，科学家计划每6-12个月进行净化程序以保持性能。

暗物质探测器“欧几里得”空间望远镜在太空中观测宇宙空间时发现镜片上结了一层薄薄的水冰，影响了观测能力。科学团队计划使用净化程序加热组件来融化水冰，但可能会导致机械机构问题。之前望远镜也出现过故障，但工程团队成功解决了问题。

欧洲空间局的欧几里得太空望远镜成功发射，前往拉格朗日L2点，任务是绘制20亿个星系结构，分析暗能量对星系扩张的影响。望远镜将勘测超过1/3的天空，研究宇宙膨胀加速的原因，主要任务包括测量弱引力透镜效应和重子声学振荡，了解暗能量的本质。此外，望远镜还将寻找低温、低质量的系外行星。

欧几里得算法 在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法（英语：Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 过程 欧几里得算法基于一个非常简单的原理：对于两个数a和b(a > b)， a和b的最大公约数与b和a - b的最大公约数相同。